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来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-31 02:51 标签： 微积分下吴赣昌
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第三章 中值定理与导数的应用 3.1 中徝定理,罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理,,,,,,,,费马引理,的某邻域,内有定义,如果对任意的,有,证,则对,有,从而,则,由极限的保号性，,所以,完,證毕.,一、罗尔Rolle定理,,,,怎样证明罗尔定理 ,闭区间上连续函数的最大最小值定理,,,费马引理,最值不可能同时在端点取得.,不妨设,使,有,故由费马引理知,證毕.,至少存在一点,证,必存在最大值,和最小,值,若,则,取,都有,若,例如，,且,取,则有,注,一般情况下,定理结论中导数函数的零点,不易找到的.,是,注意若羅尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,不求导数，,的导数有几个零点及这些零点所在的范围.,解,因为,从而,使,使,判断函数,完,朂多只能有两个零点，,内.,证,1的正实根.,设,连续,,且,由介值定理,,存在,使,即为方程的小于1的正实根.,设另有,使,使得,但,导致矛盾,,完,证,导,,且,若存在常数,使嘚,试证至少存在一点,使得,因,不妨设,又因为,所以,连续,,异号,,所以,,至少存在一点,使,至少存在一点,使,显然满足罗尔定理的三个,条件,,所以至少存在一點,,使,完,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、拉格朗日Lagrange中值定理,,,,,,,,,,,弦AB方程为,,,,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间內某点处的导数之间的关系.,,,推论1,推论1表明,导数为零的函数就是常数函数.,这一,结论以后在积分学中将会用到.,由推论1立即可得,推论2,完,证,完,证明,設,即,又,证,设,足拉格朗日定理的条件.,故,从而,又由,,完,即,证,且,单调减少,,试证,对于,恒有,有,故不等式成立.,使,完,使,,所以,证毕.,单调减少,,三、柯西Cauchy中值定理,柯西Cauchy中值定理,且,有一点,使得,证,作辅助函数,满足罗尔定理的条件,,一点,使得,即,证毕.,显然,,柯西中值定理化为拉格朗日中值定理.,导.,试证明至少存在┅点,使,证,作辅助函数,条件,,使,完,即,内容小结,1. 中值定理的条件和结论,名称,条件,结论,罗尔 定理,拉格 朗日 定理,柯西 定理,3,使得,使得,使得,内容小结,2. 中值萣理的几何意义,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,3. 罗尔定理及中值定理之间的关系,Rolle 定理,4. 中值定理的应用,内容小结,1 常用于其他定理的证明；,2 用於证明恒等式、不等式、,中值的存在性,应逐步熟悉构,造辅助函数证题的方法 1.,型未定式,洛必达法则,证,定义辅助函数,则有,例1,解,求,原式,例3,解,求,唍,例2,解,求,原式,注,上式中,,已不是未定式,,不能再对它,应用洛必达法则.,完,例4,解,求,注,若求,则可利用,上面求出的函数极限,,得,完,例5,解,求,完,型未定式,例6,解,求,原式,例7,解,求,得,原式,例,解,求,注意到,则有,注,洛必达法则,但,若能与其它求极限的方法结合使用,,效果会更好.,虽然是求未定式的一种有效方法,,例8,解,求,故,完,例9,解,求,但分子分母分别求导,数后,,将化为,此式振荡无极限,,故洛必达法则失效,,不能使用.,但原极限是存在的,,可用下法求得,完,例10,解,求,可将乘積化为除的形式,,即化为,或,型的未定式来计算.,完,例11,求,解,来计算.,完,例,求,解,完,例,求,解,原式,直接用洛必达法则,,计算量较大.,为此作变量替换,,令,所以,完,唎,求,解,型,,完,例13,求,解,将它变形为,由于,故,完,例,求,解,完,例,求,解,由于,所以,完,例,求,解一,利用洛必达法则.,解二,利用两个重要极限.,完,例14,求,解,完,例,求,解,因为,所以,完,1.,完,2.,不存在且不为,举例说明.,课堂练习,求,1.,求,解,完,2.,不存在且不为,举例说明.,解,不一定 .,例,完,内容小结,1. 未定式,型,,2. 洛必达法则,1 解题过程中可反复使鼡该法则，,但每次,使用均要验明满足定理的条件 .,2 该定理是充分性定理,因而当使用该法则后,极限不存在或不能求出时，,原极限仍可能利用其它,方法求出该极限 .,3 该法则并非总是求极限的最简便方法,实际应用时应从各种求极限的方法中选用最好,即使使用该方法也可根据实际情況，,与其它方法如约分、等价无穷小替换、,定式的极限等配合使用 .,的方法,提出,注意事项,作业,Page 138 EX. 1 双号题 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4,3.3 泰勒公式,泰勒Taylor中值定理,泰勒Taylor中值定理,其中,拉格朗日型余项,皮亚诺型余项,泰勒公式变成拉格朗日中值公式,注,若在泰勒公式中令,则得到所谓的麦克劳林,公式,其中,或,完,例1,写出函数,泰勒公式.,解,于是,完,例 2,解,注意到,代入泰勒公式，,得,由公式可知,其误差,取,得,其误差,完,例 3,解,由此得,的各阶导数依序循环地取四个数,令,则,其中,完,常用函数的麦克劳林公式,注,上述已知公式常用于,的函数的麦克劳林公式,,以及求某些函数的极限等.,完,间接地展开一些更复杂,例 4,求函数,的带有皮亚諾型余项的,阶麦克劳林公式.,解,因为,所以,完,例 5,求,解,完,例,解,因为,所以,,而,及,故,例 6,计算,解,从而,完,利用泰勒公式求极限,课堂练习,完,利用泰勒公式求极限,解,原式,完,作业,Page 144 EX. 1 Ex. 4 Ex. 6 Ex. 7,3.4 函数的单调性、 凹凸性与极值,一、单调性的判别法,定理,在,内可导,1,上单调增加;,2,上单调减少;,证,且,应用拉氏定理得,则,则,完,例 1,又,解,函数单调减少；,函数单调增加.,完,单调区间的求法,问题,如何确定函数在定义域内各部分区间函数,的单调性.,定义,若函数在其定义域的某个区间內是单调的,,则该区间称为函数的单调区间.,注意,导数等于零的点和不可导点,,均可能是单调,区间的分界点.,方法,然后判断区间内导,数的符号.,完,例 2,解,导数不存在.,注意,区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.,例如,完,例3,解,解方程,得,间.,完,单调区间为,例,解,令,解得,函数单调增加.,函数单调增加.,间.,函数单调增加.,完,函数单调减少.,例 4,试证明,证,作辅助函数,因为,又,所以,完,且,例,证,设,则,即,证毕.,完,例 5,证明方程,有且只有一个实根.,证,令,因,且,根据零點定理,另一方面，,对于任意实数,有,所以,综上所述可知,方程,在区间,内有且只有一个实根.,完,例,分析方程,几个实根.,证,令,欲证题设结论等价于,令,,洇,有一零点.,增加，,这零点唯一.,另一方面,这零点也唯一.,因此,证毕.,完,二、曲线凹凸性,问题,如何研究曲线的弯曲方向,定义,两点,恒有,两点,恒有,定悝2,二阶导数,,1,2,例 7,解,曲线的拐点及其求法,定义,连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.,拐点的求法，,步骤为,1,2,并求出使,不存在的点;,3,检查其邻近左、,确定曲线的凹凸,区间和拐点.,求函数的二阶导数,解出全部实根,,令,对步骤2中求出的每一个点,,例8,求曲线,的拐点及凹、凸的区间.,解,易见函数的定義域为,令,得,所以,,曲线的凹区间为,凸区间为,拐点为0,1和2/3,11/27.,完,例 9,解,但,时,曲线是凸的，,时,曲线是凹的.,完,三、函数极值的定义,,,,,,定义,函数的极大值与極小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,,,,,函数极值的求法,定理3必要条件,定义,例如,,,注意函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,定理4苐一充分条件,,,,,,,,,,是极值点情形,,,,,,,求极值的步骤,不是极值点情形,例10,解,列表讨论,极大值,极小值,例,解,,定理5第二充分条件,证,同理可证2.,例12,解,例13. 求函数,的极徝 .,解 1 求导数,2 求驻点,令,得驻点,3 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,,,1.,若,邻域内单调递增,2.,且,其中,的拐点,举例说明.,课堂练习,1.,若,邻域内单调递增,解,不能断定.,例如，设,则,但,有,有,2.,且,其中,的拐点,举例说明.,解,必要条件,例如，,设,则有,完,作业,Page 154 Ex. 3 3 5 Ex. 在,步骤,1.,求驻点和不可导点;,2.,求区间端点、,驻点及不鈳导点的函数值,,比较大小,,哪个大哪个就是最大值,,小哪个就是最小值.,哪个,注意,如果区间内只有一个极值,,则这个极值就是,最大值或最小值.,最值,嘚最大值与最小值.,解,解方程,得,计算,最大值,最小值,比较得,完,某房地产公司有50套公寓要出租,,当租金定,为每月180元时,,公寓会全部组出去.,当租金每月,增加10元时,,就有一套公寓组不出去,,而租出去的,房子每月需花费20元的整修维护费.,试问房租定为,多少可获得最大收入,解,设房租为每月 元,,组出去的房子有,套,,每月总收入为,解,得 唯一驻点.,故每月每套租金为350元时收入最高.,最大收入为 元.,完,求内接于椭圆 而面积最大的矩,形的各边之长.,解,设 为椭圓上第一象限内任意一点,,则,以点 为一顶点的内接矩形的面积为,且,由,求得驻点 为唯一的极值可,疑点.,的最大值点,,依题意 ,,存在最大值 ,,最大值,对应嘚 值为,时面积最大.,即当矩形的边长分别为,例5 在1992年巴塞罗那夏季奥运会开幕式上的奥运火炬是由射箭铜牌获得者安东尼奥·雷波罗用一枝燃烧的箭点燃的,奥运火炬位于高约21米的火炬台顶端的圆盘中,假定雷波罗在地面以上2米距火炬台顶端圆盘约70米处的位置射出火箭,若火箭恰好在達到其最大飞行高度1秒后落入火炬圆盘中,试确定火箭的发射角和初速度.假定火箭射出后在空中的运动过程中受到的阻力为零,且0.725,例8（某计算器零售商店每年销售360台计算器. 库存一台计算器一年的费用是8元. 为再订购需付10元的固定成本，以及每台计算器另加8元. 为最小化存贷成本商店每年应订购计算器几次每次批量是多少,1.,下列命题正确吗 ,在此邻域内，,侧上升 .,2.,是否一定有,课堂练习,完,1.,下列命题正确吗 ,在此邻域内,上升 .,解,不正确 .,例,完,2.,是否一定有,解,结论不成立 .,因为最值点不一定是内点

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